Kako rešiti logaritmične enačbe

Vsebina

• faze
• Uvodno: vedeti, kako logaritmično enačbo spremeniti v enačbo s močmi
• 1. metoda Poišči x
• 2. način Poišči x z uporabo pravila izdelka logaritma
• 3. način Poišči x z uporabo pravila količnika logaritma

Logaritmične enačbe na prvi pogled niso najlažje rešljive v matematiki, vendar jih je mogoče spremeniti v enačbe z eksponenti (eksponentna notacija). Če vam bo uspelo narediti to preobrazbo in če obvladate izračun s pooblastili, bi morali tovrstne enačbe enostavno rešiti. Opomba: izraz "log" se bo občasno uporabljal namesto "logaritem", ki sta zamenljiva.

faze

Uvodno: vedeti, kako logaritmično enačbo spremeniti v enačbo s močmi

1. 
   

   
   Začnimo z definicijo logaritma. Če iščete izračun logaritmov, vedite, da niso nič drugega kot poseben način izražanja moči. Začnimo pri enem od klasičnih pogojev logaritma:
   • y = dnevnik_b (X)
     • če in samo, če: b = x
   • b je osnova logaritma. Izpolnjena morata biti dva pogoja:
     • b> 0 (b mora biti strogo pozitiven)
     • b ne sme biti enako 1
   • V eksponentni zapis (druga enačba zgoraj), tam je moč in x je tako imenovani eksponentni izraz, katerega vrednost dejansko išče dnevnik.

2. 
   

   
   Natančno upoštevajte enačbo. Ob logaritmični enačbi moramo identificirati bazo (b), moč (y) in eksponentni izraz (x).
   • primer : 5 = dnevnik₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   
   
   Eksponentni izraz postavite na eno stran enačbe. Na primer postavite svojo vrednost x levo od znaka "=".
   • primer : 1024 = ?

4. 
   

   
   Dvignite osnovo na navedeno moč. Vrednost, dodeljena bazi (b) se mora pomnožiti sam tolikokrat, kolikor moč kaže (tam).
   • primer : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Na kratko to pomeni: 4

5. 
   

   
   Napišite svoj odgovor. Zdaj lahko logaritem zapišete v eksponentno zapisovanje. Prepričajte se, da je vaša enakost pravilna.
   • primer : 4 = 1024

1. metoda Poišči x

1. 
   

   
   
   
   Izolirajte logaritem. Cilj je, da se prvič zruši hlod. Za to prenesemo vse ne-logaritmične člane na drugi strani enačbe. Ne pozabite obrniti operativnih znakov!
   • primer : dnevnik₃(x + 5) + 6 = 10
     • dnevnik₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • dnevnik₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Enačbo napišite v eksponentni obliki. Če želite najti "x", boste morali preiti od logaritmičnih zapisov do eksponentnih zapisov, ki jih je lažje rešiti.
   • primer : dnevnik₃(x + 5) = 4
     • Izhajajoč iz teoretične enačbe y = dnevnik_b (X)], ga uporabite v našem primeru: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Enačbo zapišite kot: b = x
     • Tu dobimo: 3 = x + 5

3. 
   

   
   Najdi x. Zdaj se soočate z enačbo prve stopnje, ki jo je enostavno rešiti. Lahko bi bila druga ali tretja stopnja.
   • primer : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Vnesite svoj dokončni odgovor. Vrednost, ki ste jo našli za "x", je odgovor na vašo logaritmično enačbo: log₃(x + 5) = 4.
   • primer : x = 76

2. način Poišči x z uporabo pravila izdelka logaritma

1. 
   

   
   Morate vedeti pravilo, ki se nanaša na izdelek (množenje) hlodov. Glede na prvo lastnost dnevnikov, ki se nanaša na izdelek hlodov (iste osnove), je dnevnik izdelka enak vsoti dnevnikov elementov izdelka. Ilustracija:
   • dnevnik_b(m x n) = dnevnik_b(m) + dnevnik_b(N)
   • Izpolnjena morata biti dva pogoja:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Ločite dnevnike na eni strani enačbe. Cilj je, da se sprva razdeli hlodi. Za to prenesemo vse ne-logaritmične člane na drugi strani enačbe. Ne pozabite obrniti operativnih znakov!
   • primer : dnevnik₄(x + 6) = 2 - dnevnik₄(X)
     • dnevnik₄(x + 6) + dnevnik₄(x) = 2 - dnevnik₄(x) + dnevnik₄(X)
     • dnevnik₄(x + 6) + dnevnik₄(x) = 2

3. 
   

   
   Uporabite pravilo, ki se nanaša na izdelek hlodov. Tu ga bomo uporabili v nasprotni smeri, in sicer da je vsota hlodov enaka dnevniku izdelka. Kaj nam daje:
   • primer : dnevnik₄(x + 6) + dnevnik₄(x) = 2
     • dnevnik₄ = 2
     • dnevnik₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Ponovno napišite enačbo z močmi. Spomnimo se, da se lahko logaritmična enačba pretvori v enačbo s eksponenti. Kot prej se bomo premaknili k eksponentnim zapisom, da bomo pomagali rešiti težavo.
   • primer : dnevnik₄(x + 6x) = 2
     • Izhajajoč iz teoretične enačbe, jo uporabimo za naš primer: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Enačbo zapišite kot: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   Najdi x. Zdaj se soočate z enačbo druge stopnje, ki jo je enostavno rešiti.
   • primer : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Napišite svoj odgovor. Pogosto imamo dva odgovora (korenine). V začetni enačbi je treba preveriti, če sta ti dve vrednosti primerni. Dejansko ne moremo izračunati dnevnika negativnega števila! Vnesite edini veljaven odgovor.
   • primer : x = 2
   • Nikoli se ga ne bomo spomnili dovolj: dnevnik negativne številke ne obstaja, zato ga lahko tukaj zavržete - 8 kot rešitev. Če bi kot odgovor vzeli -8, bi v osnovni enačbi imeli: log₄(-8 + 6) = 2 - dnevnik₄(-8), tj. Dnevnik₄(-2) = 2 - dnevnik₄(-8). Ne morem izračunati negativne vrednosti!

3. način Poišči x z uporabo pravila količnika logaritma

1. 
   

   
   Morate vedeti pravilo, ki se nanaša na razdelitev hlodov. Glede na drugo lastnost dnevnikov, ki se nanaša na delitev dnevnikov (istega osnovnega senzora!), Je dnevnik količnika enak razliki dnevnika števca in dnevnika imenovalca. Ilustracija:
   • dnevnik_b(m / n) = dnevnik_b(m) - dnevnik_b(N)
   • Izpolnjena morata biti dva pogoja:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Ločite dnevnike na eni strani enačbe. Cilj je, da se sprva razdeli hlodi. Za to prenesemo vse ne-logaritmične člane na drugi strani enačbe. Ne pozabite obrniti operativnih znakov!
   • primer : dnevnik₃(x + 6) = 2 + dnevnik₃(x - 2)
     • dnevnik₃(x + 6) - dnevnik₃(x - 2) = 2 + dnevnik₃(x - 2) - dnevnik₃(x - 2)
     • dnevnik₃(x + 6) - dnevnik₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Uporabite pravilo količnika dnevnika. Tukaj jo bomo uporabili v nasprotni smeri, in sicer da je razlika hlodov enaka dnevniku količnika. Kaj nam daje:
   • primer : dnevnik₃(x + 6) - dnevnik₃(x - 2) = 2
     • dnevnik₃ = 2

4. 
   

   
   Ponovno napišite enačbo z močmi. Spomnimo se, da se lahko logaritmična enačba pretvori v enačbo s eksponenti. Kot prej se bomo premaknili k eksponentnim zapisom, da bomo pomagali rešiti težavo.
   • primer : dnevnik₃ = 2
     • Izhajajoč iz teoretične enačbe, jo uporabimo za naš primer: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Enačbo zapišite kot: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   Najdi x. Zdaj, ko ni več dnevnikov, ampak pooblastil, bi morali najti enostavno x.
   • primer : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; pomnožimo obe strani s (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Vnesite svoj dokončni odgovor. Vzemite nazaj svoje izračune in preverite. Ko ste prepričani v svoj odgovor, ga dokončno zapišite.
   • primer : x = 3